Por Canuto  

Una demostración desarrollada por cinco matemáticos resuelve un problema de décadas sobre la rapidez con que una red pasa de pequeños charcos aislados a una estructura prácticamente inundada. El resultado alcanza una amplia clase de grafos infinitos y podría extenderse a modelos relacionados con materiales, fluidos y transiciones de fase.
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  • Cinco matemáticos demostraron la agudeza supercrítica para todos los grafos transitivos infinitos.
  • La prueba muestra que, apenas por encima del umbral crítico, los grandes charcos aislados se vuelven extremadamente improbables.
  • El método podría aplicarse a redes no uniformes y a modelos más complejos, aunque persisten preguntas sobre las retículas tridimensionales.

Una demostración elaborada por cinco matemáticos resolvió uno de los problemas abiertos más importantes de la teoría de la percolación, un campo que estudia cómo se propaga un flujo dentro de una red. El resultado establece que una amplia clase de grafos cambia de comportamiento con rapidez cuando la probabilidad de abrir sus conexiones supera el umbral crítico, un fenómeno comparable a una transición de fase física.

El trabajo se refiere específicamente a la llamada agudeza supercrítica, que describe lo que ocurre por encima de ese umbral. El equipo formado por Sahar Diskin, Philip Easo, Ritvik Ramanan Radhakrishnan, Benny Sudakov y Vincent Tassion consiguió una prueba que se aplica a cualquier grafo transitivo infinito, una generalidad que durante décadas parecía fuera de alcance.

Una idea nacida del estudio del carbón

La percolación nació vinculada a una pregunta práctica sobre el carbón, un material lleno de diminutos agujeros cuyo comportamiento frente a los fluidos puede variar considerablemente. En la década de 1940, Rosalind Franklin trabajaba en la British Coal Utilization Research Association e investigaba las propiedades del carbón, los carbones vegetales y el grafito, incluidos el tamaño típico de sus poros y el grado de variación entre ellos.

Una década después, Simon Broadbent y John Hammersley transformaron esa intuición en un modelo matemático pensado, entre otras aplicaciones, para comprender los filtros de carbón de las máscaras de gas. Su esquema utiliza una cuadrícula de puntos vecinos y una moneda: cada lanzamiento decide si una conexión queda abierta para el flujo o cerrada, de modo que la red resultante depende de una probabilidad que puede ir de 0% a 100%.

Cuando la probabilidad de conexiones abiertas es baja, el flujo queda atrapado en pequeños grupos separados, equivalentes a charcos aislados dentro de la red. Sin embargo, al superar una probabilidad crítica, esos grupos pueden unirse de manera repentina y formar una estructura extensa, tal como el agua cambia de estado al congelarse o derretirse cuando alcanza determinadas condiciones.

El valor exacto del umbral depende de la geometría de la red: una retícula cuadrada no tiene la misma probabilidad crítica que una triangular, y los modelos bidimensionales difieren de los tridimensionales. En un grafo finito, el cruce del umbral produce un gran mar de conexiones, mientras que en uno infinito puede generar un componente infinito que domina el sistema.

El problema de la agudeza

Los investigadores no solo querían saber si aparecía una red extensa, sino también con qué rapidez se producía esa transformación. La conjetura de agudeza planteaba que, por debajo del punto crítico, los grupos debían ser pequeños, mientras que por encima del umbral un océano de conexiones abiertas debía cubrir casi toda la red con una transición especialmente pronunciada.

La agudeza se demostró durante la década de 1980 para retículas, mediante trabajos independientes realizados por dos grupos, uno en Nueva Jersey y otro en Moscú. Tom Hutchcroft, matemático de Princeton y del California Institute of Technology, calificó ese avance como fundacional, porque permitió deducir propiedades relevantes sobre la estructura de la zona inundada y su parecido con la retícula subyacente.

En 1996, Itai Benjamini y Oded Schramm intentaron llevar estas preguntas a una clase mucho más amplia de redes, los grafos transitivos. En ellos, todos los cruces tienen la misma apariencia local, como si una persona recorriera un paisaje de carreteras sin puntos de referencia y necesitara una brújula o un sistema de posicionamiento para saber dónde se encuentra.

Los trabajos posteriores resolvieron la parte subcrítica en 2007, cuando Tonći Antunović e Ivan Veselić demostraron que, por debajo del umbral, los grupos de fluido permanecen pequeños y muy separados. La mitad supercrítica resultó considerablemente más difícil, porque exigía probar que los grupos grandes que no pertenecen a un mar infinito se vuelven extremadamente raros.

La estrategia que derribó el muro

El equipo no comenzó intentando resolver la agudeza supercrítica. Durante buena parte del otoño de 2025, Diskin, Easo, Radhakrishnan, Sudakov y Tassion estudiaban cómo cambia la probabilidad crítica según el número de aristas de un grafo, pero al acercarse el final del semestre todavía no contaban con una demostración satisfactoria.

Easo propuso entonces cambiar de dirección y concentrarse en la agudeza, una decisión que llevó a Diskin, Easo y Radhakrishnan a obtener avances iniciales. Cuando presentaron esas ideas a Sudakov y Tassion, este último imaginó que la estrategia, con algunos ajustes, podía ser suficientemente potente para abarcar todos los grafos transitivos infinitos.

El grupo trabajó intensamente durante las semanas previas a Navidad, intercambiando mensajes hasta altas horas y revisando cada detalle de la intuición. La mañana del 17 de diciembre estaban convencidos de que habían encontrado una solución, y para Navidad ya habían consolidado una demostración, según los testimonios recogidos por Quanta Magazine.

Para estudiar un gran charco aislado por encima del umbral, los matemáticos analizaron la línea de costa que lo rodea. Esa frontera puede incluir arroyos que regresan al charco, pero también caminos que conectan con mares infinitos; si dos de esas estructuras coinciden en un punto, el supuesto charco finito deja de estar aislado y pasa a formar parte de un componente infinito.

Una mejora al método de sprinkling

El tamaño del charco desempeña un papel central en el argumento, porque un grupo grande tiene una costa extensa y, por tanto, más lugares donde podría conectarse con una red infinita. El equipo mostró que las posibilidades de evitar todas esas conexiones disminuyen hasta hacer casi imposible que un charco grande permanezca aislado cuando la probabilidad está por encima del punto crítico.

Para reforzar el razonamiento, los investigadores recurrieron a una técnica probabilística conocida como sprinkling, que consiste en reservar algunas aristas abiertas y analizarlas por separado antes de combinarlas con el resto de la red. Esa independencia facilita demostrar que las conexiones reservadas suelen crear un camino hacia uno de los mares infinitos.

La innovación decisiva consistió en invertir el orden habitual del procedimiento y analizar primero las aristas reservadas. El cambio simplificó la demostración y, al mismo tiempo, la fortaleció hasta hacerla válida para todos los grafos transitivos infinitos, en lugar de limitarla a geometrías particulares o a modelos más cercanos a las retículas convencionales.

Asaf Nachmias, investigador de la Universidad de Tel Aviv especializado en teoría de la percolación y probabilidad, describió la demostración como “asombrosa”. A su juicio, cada paso individual parece familiar y sencillo, pero la manera en que el equipo ensambló las piezas constituye una construcción genuinamente novedosa.

Alcance y preguntas pendientes

El teorema tiene relevancia más allá del ejercicio abstracto, porque la percolación sirve como modelo simplificado para fenómenos tan distintos como la expansión de un incendio forestal, la propagación de un virus, el paso de un gas por un filtro y algunas transiciones de fase en materiales. Vincent Tassion explicó que este tipo de modelos funciona como una caricatura matemática de procesos físicos más complicados, al eliminar elementos que pueden ocultar la estructura esencial del problema.

La técnica podría encontrar aplicaciones en sistemas de percolación que todavía no han sido estudiados con la misma profundidad. Entre ellos aparecen grafos cuyos nodos no son idénticos y modelos más complejos relacionados con la congelación del agua o con materiales cuánticos, aunque la noticia no presenta esos posibles usos como resultados ya demostrados.

El avance también reactiva una pregunta importante sobre las retículas tridimensionales, que son las redes matemáticas más parecidas a muchos sistemas físicos reales. Todavía queda por determinar qué ocurre exactamente en la probabilidad crítica de esos modelos y si en ese punto existe un mar infinito.

Para Benjamini, el resultado tiene una dimensión personal además de su importancia matemática, pues esperó durante una década a que la investigación iniciada con Schramm retomara impulso. Schramm murió en 2008, a los 46 años, en un accidente mientras hacía senderismo, y Benjamini describió la nueva demostración como “una joya” y como una pieza profunda y significativa del rompecabezas de la percolación.

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