Por Canuto  

Un estudiante de posgrado del MIT logró demostrar un principio de incertidumbre cuántica aplicable a fractales en todas las dimensiones superiores. El resultado, publicado en la prestigiosa revista Annals of Mathematics, está siendo calificado como “fundacional” por los mejores matemáticos del mundo y ya está desbloqueando nuevas demostraciones sobre el caos cuántico.

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  • Alex Cohen, con solo 25 años, extendió el principio de incertidumbre fractal a dimensiones superiores, un problema abierto desde 2016.
  • La demostración se basa en una nota inédita de Jean Bourgain, fallecido en 2018, que desbloqueó la construcción de una función clave.
  • El resultado ya se usa para estudiar cómo se comportan las ondas en espacios hiperbólicos y podría ayudar a resolver una conjetura de 1994 sobre caos cuántico.

 

El principio de incertidumbre matemático y su origen

El principio de incertidumbre cuántica es famoso por afirmar que no se puede conocer con precisión simultánea la posición y el momento de una partícula.

Sin embargo, esta regla es solo una manifestación de un principio matemático más profundo vinculado a la transformada de Fourier. Inventada en el siglo XIX por Joseph Fourier, la transformada descompone cualquier función en ondas simples con frecuencias definidas.

Cuanto más estrecha es una función, más extendida debe estar su transformada, y viceversa. En mecánica cuántica, una partícula se describe como una onda y su transformada de Fourier describe su movimiento. Esto explica por qué la posición y el momento no pueden conocerse ambos con precisión al mismo tiempo. Pero ¿qué sucede cuando la función tiene estructura fractal?

Un fractal como el conjunto de Cantor es poroso: está lleno de agujeros a todas las escalas. El principio de incertidumbre fractal afirma que una función de tipo fractal y su transformada de Fourier no pueden ser ambas porosas.

Esta propiedad aparece naturalmente al estudiar sistemas caóticos como una pelota rebotando en una máquina de pinball. En raras ocasiones, un objeto caótico puede quedar atrapado en una trayectoria que forma un polvo fractal.

Las ondas cuánticas, sin embargo, no pueden confinarse en fractales según este nuevo principio.

Dyatlov y Bourgain: la demostración unidimensional

Semyon Dyatlov, matemático del MIT, se preguntó si las partículas cuánticas se comportan distinto a las clásicas en situaciones caóticas. Observó que un objeto clásico puede quedar atrapado siguiendo un camino fractal para siempre.

Pero una onda cuántica tiende a difuminarse y extenderse, lo que impide ese atrapamiento. Para demostrarlo, Dyatlov necesitaba un principio de incertidumbre que funcionara para fractales.

En 2016, junto con Jean Bourgain, un renombrado matemático que fallecería dos años después, demostró el principio para fractales unidimensionales. Estos fractales representan trayectorias de objetos que se mueven en dos dimensiones, como pelotas en una mesa de billar. Ese mismo año, Dyatlov y Bourgain organizaron un taller en Nueva Jersey para extender la demostración a dimensiones superiores.

Pero la tarea resultó demasiado difícil y, al final del evento, “nadie creía realmente que pudiera hacerse”, dijo Frédéric Naud de la Universidad de la Sorbona. Bourgain dejó notas inéditas sobre el problema antes de su muerte en 2018.

Alex Cohen y el avance en dimensiones superiores

Alex Cohen llegó al MIT en 2021 como estudiante de doctorado en análisis armónico.

Asistió a las charlas de Dyatlov, quien terminaba cada presentación diciendo: “No tenemos un principio de incertidumbre fractal en dimensiones superiores, ¡desearía que lo tuviéramos!”. Cohen pensó que sería un problema divertido de resolver, pero pronto se sintió atascado.

Los matemáticos ya conocían situaciones donde el principio fallaría en dimensiones superiores. Por ejemplo, la alfombra de Sierpiński contiene líneas rectas ininterrumpidas, y esas líneas violan el principio.

Cohen necesitaba una condición más estricta: la “porosidad de línea”, que exige que cualquier línea dibujada sobre el fractal encuentre muchos agujeros. Con esta suposición, intentó usar sus herramientas de análisis armónico, pero ninguna funcionó.

Entonces volvió a la demostración unidimensional de Dyatlov y Bourgain para entenderla a fondo. Esa demostración aislaba cada pico de la función fractal usando una “función de amortiguamiento” perfectamente adaptada.

Cohen consultó a Dyatlov, quien le compartió las notas inéditas de Bourgain sobre este problema.

“Bourgain era un analista legendario“, dijo Cohen, y leer esas notas “simplemente me voló la mente“. La nota revelaba un desvío inesperado hacia el análisis complejo, basado en el teorema de Beurling-Malliavin de los años 60.

Cohen no sabía que esta estrategia ya era conocida por otros expertos, y eso le dio confianza para avanzar. Construyó la función de amortiguamiento necesaria y publicó su demostración en línea en mayo de 2023.

El artículo fue finalmente publicado en 2025 en los Annals of Mathematics, considerada la revista más importante del campo. Cohen obtuvo un puesto de profesor asistente en la Universidad de Nueva York a los 25 años.

Aplicaciones en caos cuántico y ondas

Poco después, otros matemáticos empezaron a usar el principio de Cohen para desbloquear nuevas demostraciones.

En 2017, Dyatlov y Long Jin de la Universidad de Tsinghua usaron la versión unidimensional para mostrar que una onda nunca puede quedar atrapada en una superficie hiperbólica.

Los espacios hiperbólicos son modelos simplificados de caos, donde las líneas paralelas divergen dramáticamente.

En 2025, Elena Kim de la Universidad de Harvard y Nicholas Miller de la Universidad de Oklahoma extendieron estos resultados a dimensiones superiores usando el principio de Cohen.

Peter Sarnak del Instituto de Estudios Avanzados calificó esta aplicación como “la más espectacular del principio en dimensiones superiores hasta ahora“.

Muchos matemáticos esperan demostrar que las ondas en caos no solo se extienden por completo, sino que se distribuyen uniformemente en todo el espacio.

Esta es la afirmación de una famosa conjetura de 1994 propuesta por Sarnak y Zeév Rudnick. Demostrar esa conjetura mostraría que las ondas caóticas se ven aleatorias a pequeña escala pero simples a nivel macroscópico. Dyatlov lo comparó con los cuadros de Monet: de cerca hay pinceladas microscópicas, pero de lejos se ven uniformemente coloreados.

Un resultado fundacional con amplio impacto

Según Quanta Magazine, el principio de incertidumbre fractal es “un resultado fundacional” en matemáticas. Peter Sarnak añadió que es “un logro bastante notable para alguien en su tesis“.

Wilhelm Schlag de la Universidad de Yale, quien fue profesor de Cohen en su pregrado, dijo que “construir algo así con propiedades muy específicas es altamente no trivial”. Schlag también destacó que “nadie sabía cómo hacer eso” en dos dimensiones y que Cohen ideó una “construcción brillante”.

El impacto va más allá del caos cuántico, porque las herramientas del análisis de Fourier se usan en muchos campos, incluido el procesamiento de señales. Sarnak afirmó que “es un hecho fundacional sobre el análisis de Fourier” y que “aún no hemos visto todas las aplicaciones”.

Cohen descubrió más tarde que el truco de Bourgain no era un secreto, sino una técnica conocida del teorema de Beurling-Malliavin. Si hubiera sabido que otros ya lo habían intentado, admitió, quizás se habría rendido demasiado pronto.

La historia muestra cómo una nota inédita de un matemático fallecido pudo desbloquear un problema que parecía intratable. El principio de incertidumbre fractal abre nuevas puertas para comprender la diferencia fundamental entre el caos clásico y el cuántico.

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Este artículo fue escrito por un redactor de contenido de IA.

 


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